Note d’exposés donnés dans le cadre d’un groupe de lecture de doctorant.e.s autour de la thèse de Deligne.

Esposé de Rufus Lawrence

Suites spectrales et lemme des deux filtrations, partie 1

Crash course, suites spectrales pour les nuls

Suite spectrale chohomologique

Soit $\mathscr{A}$ une catégorie abélienne.

Une suite spectrale cohomologique est la donnée \(\{ E_r , d_r : E_r \to E_r \}_{r\geqslant 0}\) d’une collection d’objets de $\mathscr{A}$ telle que

  1. $d_r \circ d_r = 0$

  2. $E_{r+1} = H ( E_r , d_r )$

On dit que $E_r$ est la $r$-ième page de la suite spectrale.

Alors voilà pour une définition générale. Mais si vous vous promenez dans la nature et croisez une suite spectrale, vous allez plutôt croiser une suite spectrale bigraduée.

Suite spectrale bigraduée

Dans ce cas, on a une décomposition

\[E_r = \oplus_{p,q\in \mathbf{Z}} E^{p,q}_r\]

avec

\[d_r = \left ( d_r^{p,q} : E_r^{p,q} \longrightarrow E_r^{p+r,q-r+1} \right ).\]

Dans cette situation,

  • $d^{p+q,q-r+1}_{r} \circ d^{p,q}_r = 0$

  • $E_{r+1} \simeq H ( E_r , d_r )$

Un premier exemple bête de dégénérescence

Soit $\mathscr{A}$ une catégorie abélienne et $C^\bullet$ un complexe. On pose $E_0 = C^\bullet$, $d_0 = d^\bullet$, dès lors $H(C^\circ ) = E_1$, et en posant $d_1 = 0$ on a dégénérescence $E_2 = E_3 = E_n$ dès que $n\geqslant 2$.

Dégénérescence des suites spectrales

On dit que \(\{ E_r , d_r \}\) dégénère à $r_0$ si

\[r\geqslant r_0 \Rightarrow d_r = 0\]

ce qui implique $E_r = E_{r_0}$ dès que $r=r_0$. On le note

\[E_r^{p,q} \Rightarrow E_{r_0}^{p,q}.\]

On dit de plus qu’elle s’effondre si elle est concentré dans une ligne ou une colonne.

On peut penser chaque page de la suite spectrale comme une approximation de la cohomologie d’un certain complexe (cf plus loin dans le cas d’une filtration).

Termes limites

Soit $E_r$ une suite spectrale. Il existe une double-suite de sous-objets \((B_r)_{r\geqslant 0}\) et \((Z_r )_{r\geqslant 0}\)

\[0 = B_0 \subseteq B_1 \subseteq ... \subseteq B_r \subseteq ... \subseteq Z_r \subseteq ... \subseteq Z_1 \subseteq Z_0 = E_1\]

tels que

\[E_r \simeq Z_{r-1} / B_{r-1}.\]

Pourquoi? On pose naturellement

\[Z_0 = E_1 \text{ et } B_0 = 0\]

puis $Z_r$ et $B_r$ tels que

\[Z_r / B_{r-1} = \ker ( E_r \to E_r )\]

et

\[B_r / B_{r-1} = \mathop{\mathrm{\mathrm{Im}}}( E_r \to E_r ).\]

On pose alors (quand ça existe, ce qui sera toujours le cas pour nous)

\[Z_\infty = \cap_r Z_r \text{ et } B_\infty = \cup_r B_r\]

ainsi que

\[E_\infty = Z_\infty / B_\infty .\]

Notation 11. En cas de dégénérescence à la page $r_0$, on note $E_{r_0} = E_\infty$.

Lemme des deux filtrations

On revient au paragraphe 1.3.1 de (Deligne 1971). On travaille toujours dans une catégorie abélienne $\mathscr{A}$ et on se donne un complexe différentiel $K$ d’objets de $\mathscr{A}$, muni d’une filtration $F$.

Définition 12. La filtration $F$ est dite birégulière si $F$ induit une filtration finie sur chaque composante de $K$.

Example 13.

\[0 \longrightarrow \mathbf{Z}\longrightarrow \mathbf{Z}^2 \longrightarrow ... \longrightarrow \mathbf{Z}^d \longrightarrow ...\]

où toutes les flèches sont nulles. (Revient à une filtrations par symboles.)

Non-exemple. Filtration sur $A$, infinie.

\[0 \longrightarrow A \overset{id}{\longrightarrow} A \longrightarrow 0\]

La filtration $F$ induit une suite spectrale $E_r^{p,q} ( K , F )$ (a priori pas besoin qu’elle soit birrégulière).

Définition 14. On pose

\[Z_r^{p,q} = \ker ( d : F^p ( K^{\textcolor{red}{p+q}} ) \to K^{\textcolor{red}{p+q}+1} / F^{p+r} ( K^{\textcolor{red}{p+q}+1} ) )\]

et $B_r^{p,q}$ tel que

\[K^{\textcolor{red}{p+q}} / B^{p,q}_r \simeq \mathop{\mathrm{\mathrm{coker}}}( d : F^{p-q+1} ( K ^{\textcolor{red}{p+q}-1} ) \to K^{\textcolor{red}{p+q}} / F^{p+1} ( K^{\textcolor{red}{p+q}} ) )\]

de sorte que

\[E_r^{p,q} = \mathop{\mathrm{\mathrm{Im}}}( Z_r^{p,q} \to K^{\textcolor{red}{p+q}} /B_r^{p,q} ) = Z_r^{p,q} / (B_r^{p,q} \cap Z_r^{p,q} ) = \ker ( K^{\textcolor{red}{p+q}} / B^{p,q}_r \to K^{\textcolor{red}{p+q}} / ( Z_r^{p,q} + B_r^{p,q} ) ) .\]

Pour $r<\infty$, les $E_r$ forment un complexe par le degré $p-r(p+q)$ et $E_{r+1}$ s’exprime comme

\[H ( E_r^{p-r,q+r-1} \to E_r^{p,q} \to E^{p+r,q-r+1}_r ) .\]

Pour $r=0$ on a $E_0^{,} = \mathop{\mathrm{\mathrm{Gr}}}_F^* ( K^* )$.

Proposition 15. Soient $K$ et $F$ comme ci-avant. Les deux conditions suivantes sont équivalentes.

  1. La suite spectrale définie par $F$ dégénère $[E_1 = E_\infty ]$.

  2. Les différentielles $d:K^ i \to K^ i+1$ sont strictement compatibles avec $F$.

On conclut cet exposé en esquissant les idées de la suite. Etant données $W$ et $F$ deux filtrations avec $F$ birrégulière, l’idée sera de voir les conditions pour lesquelles trois filtrations $F_d$, $F_{d^*}$ et $F’$ coincident sur $E_r^{p,q} ( K , W )$.

On parlera aussi de

\[H^q ( X , \Omega^p ) \Rightarrow H^{p+q} ( X , \mathbf{C}) .\]

Références

Deligne, Pierre. 1971. “Théorie de Hodge: II.” Publications Mathématiques de l’IHÉS 40: 5–57.