Note d’exposés donnés dans le cadre d’un groupe de lecture de doctorant.e.s autour de la thèse de Deligne.

Esposé de Rufus Lawrence

Suites spectrales et lemme des deux filtrations, partie 1

Crash course, suites spectrales pour les nuls

Suite spectrale chohomologique

Soit $A$ une catégorie abélienne.

Une suite spectrale cohomologique est la donnée ${E_{r}, d_{r} : E_{r} \to E_{r}}_{r ⩾ 0}$ d’une collection d’objets de $A$ telle que

$d_{r} \circ d_{r} = 0$
$E_{r + 1} = H (E_{r}, d_{r})$

On dit que $E_{r}$ est la $r$ -ième page de la suite spectrale.

Alors voilà pour une définition générale. Mais si vous vous promenez dans la nature et croisez une suite spectrale, vous allez plutôt croiser une suite spectrale bigraduée.

Suite spectrale bigraduée

Dans ce cas, on a une décomposition

E_{r} = \oplus_{p, q \in Z} E_{r}^{p, q}

avec

d_{r} = (d_{r}^{p, q} : E_{r}^{p, q} ⟶ E_{r}^{p + r, q - r + 1}) .

Dans cette situation,

$d_{r}^{p + q, q - r + 1} \circ d_{r}^{p, q} = 0$
$E_{r + 1} ≃ H (E_{r}, d_{r})$

Un premier exemple bête de dégénérescence

Soit $A$ une catégorie abélienne et $C^{∙}$ un complexe. On pose $E_{0} = C^{∙}$ , $d_{0} = d^{∙}$ , dès lors $H (C^{\circ}) = E_{1}$ , et en posant $d_{1} = 0$ on a dégénérescence $E_{2} = E_{3} = E_{n}$ dès que $n ⩾ 2$ .

Dégénérescence des suites spectrales

On dit que ${E_{r}, d_{r}}$ dégénère à $r_{0}$ si

r ⩾ r_{0} \Rightarrow d_{r} = 0

ce qui implique $E_{r} = E_{r_{0}}$ dès que $r = r_{0}$ . On le note

E_{r}^{p, q} \Rightarrow E_{r_{0}}^{p, q} .

On dit de plus qu’elle s’effondre si elle est concentré dans une ligne ou une colonne.

On peut penser chaque page de la suite spectrale comme une approximation de la cohomologie d’un certain complexe (cf plus loin dans le cas d’une filtration).

Termes limites

Soit $E_{r}$ une suite spectrale. Il existe une double-suite de sous-objets $(B_{r})_{r ⩾ 0}$ et $(Z_{r})_{r ⩾ 0}$

0 = B_{0} \subseteq B_{1} \subseteq . . . \subseteq B_{r} \subseteq . . . \subseteq Z_{r} \subseteq . . . \subseteq Z_{1} \subseteq Z_{0} = E_{1}

tels que

E_{r} ≃ Z_{r - 1} / B_{r - 1} .

Pourquoi? On pose naturellement

Z_{0} = E_{1} et B_{0} = 0

puis $Z_{r}$ et $B_{r}$ tels que

Z_{r} / B_{r - 1} = \ker (E_{r} \to E_{r})

B_{r} / B_{r - 1} = Im (E_{r} \to E_{r}) .

On pose alors (quand ça existe, ce qui sera toujours le cas pour nous)

Z_{\infty} = \cap_{r} Z_{r} et B_{\infty} = \cup_{r} B_{r}

ainsi que

E_{\infty} = Z_{\infty} / B_{\infty} .

Notation 11. En cas de dégénérescence à la page $r_{0}$ , on note $E_{r_{0}} = E_{\infty}$ .

Lemme des deux filtrations

On revient au paragraphe 1.3.1 de (Deligne 1971). On travaille toujours dans une catégorie abélienne $A$ et on se donne un complexe différentiel $K$ d’objets de $A$ , muni d’une filtration $F$ .

Définition 12. La filtration $F$ est dite birégulière si $F$ induit une filtration finie sur chaque composante de $K$ .

Example 13.

0 ⟶ Z ⟶ Z^{2} ⟶ . . . ⟶ Z^{d} ⟶ . . .

où toutes les flèches sont nulles. (Revient à une filtrations par symboles.)

Non-exemple. Filtration sur $A$ , infinie.

0 ⟶ A \overset{i d}{⟶} A ⟶ 0

La filtration $F$ induit une suite spectrale $E_{r}^{p, q} (K, F)$ (a priori pas besoin qu’elle soit birrégulière).

Définition 14. On pose

Z_{r}^{p, q} = \ker (d : F^{p} (K^{p + q}) \to K^{p + q + 1} / F^{p + r} (K^{p + q + 1}))

et $B_{r}^{p, q}$ tel que

K^{p + q} / B_{r}^{p, q} ≃ coker (d : F^{p - q + 1} (K^{p + q - 1}) \to K^{p + q} / F^{p + 1} (K^{p + q}))

de sorte que

E_{r}^{p, q} = Im (Z_{r}^{p, q} \to K^{p + q} / B_{r}^{p, q}) = Z_{r}^{p, q} / (B_{r}^{p, q} \cap Z_{r}^{p, q}) = \ker (K^{p + q} / B_{r}^{p, q} \to K^{p + q} / (Z_{r}^{p, q} + B_{r}^{p, q})) .

Pour $r < \infty$ , les $E_{r}$ forment un complexe par le degré $p - r (p + q)$ et $E_{r + 1}$ s’exprime comme

H (E_{r}^{p - r, q + r - 1} \to E_{r}^{p, q} \to E_{r}^{p + r, q - r + 1}) .

Pour $r = 0$ on a $E_0^{,} = \mathop{\mathrm{\mathrm{Gr}}}_F^* ( K^* )$.

Proposition 15. Soient $K$ et $F$ comme ci-avant. Les deux conditions suivantes sont équivalentes.

La suite spectrale définie par $F$ dégénère $[E_{1} = E_{\infty}]$ .
Les différentielles $d : K^{i} \to K^{i} + 1$ sont strictement compatibles avec $F$ .

On conclut cet exposé en esquissant les idées de la suite. Etant données $W$ et $F$ deux filtrations avec $F$ birrégulière, l’idée sera de voir les conditions pour lesquelles trois filtrations $F_{d}$ , $F_{d^{*}}$ et $F^{'}$ coincident sur $E_{r}^{p, q} (K, W)$ .

On parlera aussi de

H^{q} (X, Ω^{p}) \Rightarrow H^{p + q} (X, C) .

Références

Deligne, Pierre. 1971. “Théorie de Hodge: II.” Publications Mathématiques de l’IHÉS 40: 5–57.