Note d’exposés donnés dans le cadre d’un groupe de lecture de doctorant.e.s autour de la thèse de Deligne.

Introduction, objets filtrés, filtrations opposées

L’exemple à garder en tête comme point de départ est le suivant : si $X$ est une variété kälherienne compacte, la cohomologie de Dolbeault fournit que ses groupes de cohomologie à coefficients complexes $H^{n} (X, C)$ se décomposent en une somme directe

H^{n} (X, C) = ⨁_{p + q = n} H^{p, q} (X, C)

de telle façon que $\overset{―}{H^{p, q} (X, C)} = H^{q, p} (X, C)$ pour tout $p$ et $q$ . Dans ce cas $H^{n} (X, C)$ est une structure de Hodge pure de poids $n$ .

Si $X$ est à présent une variété algébrique lisse (pas forcément propre, ni quasi-projective), les groupes de cohomologie $H^{n} (X, C)$ ne sont plus nécessairement pures, mais extensions successives de structures de Hodges de poids compris entre $2 n$ et $n$ . C’est le Corollaire 3.2.15 de (Deligne 1971).

Le but de ce premier exposé introductif est de préciser les termes intervenant dans la définition d’une structure de Hodge mixte.

Définition 1. Une structure de Hodge mixte est la donnée

d’un $Z$ -module de type fini $H_{Z}$ , appelé réseau entier,
d’une filtration $W_{∙}$ croissante finie de $H_{Q} = H_{Z} \otimes_{Z} Q$ , appelée filtration par le poids,
d’une filtration $F^{∙}$ finie décroissante de $H_{C} = H_{Z} \otimes_{Z} Q$ , appelée filtration de Hodge,

telles que $W_{C}$ , $F$ et $\overset{―}{F}$ soient opposées.

Objets filtrés

On se place dans le cadre des catégories abéliennes. Quelques exemples :

(complexes de) groupe abéliens,
modules à gauche sur un anneau,
(pré)faisceaux en groupes abéliens sur un espace topologique,
…,

mais surtout

structures de Hodge mixtes.

Essentiellement, il suffit pour cet exposé de retenir qu’une catégorie abélienne $A$ est telle que tous les ensembles de flèches sont munis d’une structure de groupe abélien, pour laquelle la composition est bilinéaire, et que toute flèche admet un noyau, un conoyau, une image et une coïmage.

Définition 2. Une filtration décroissante sur un objet $A$ de $A$ est une famille $(F^{n} (A))_{n \in Z}$ de sous-objets de $A$ telle que

n ⩽ m \Rightarrow F^{m} (A) \subset F^{n} (A) .

On pose de plus $F^{\infty} (A) = 0$ et $F^{- \infty} (A) = A$ . Elle est dite finie s’il existe des entiers $n$ et $m$ tels que $F^{n} (A) = A$ et $F^{m} (A) = 0$ .

On définit les filtrations croissantes de façon similaire. Dans la suite de l’exposé, sauf mention explicite du contraire, on ne considérera que des filtrations décroissantes.

Définition 3. Un morphisme de filtrations

f : (A, F) ⟶ (B, F)

est un morphisme $f : A \to B$ envoyant $F^{n} (A)$ dans $F^{n} (B)$ pour tout $n \in Z$ .

Un tel morphisme admet un noyau, une image, un conoyau, une coïmage.

Un tel morphisme est dit strict s’il induit un isomorphisme entre sa coïmage et son image.

Définition 4. Le gradué $Gr$ associé à une filtration $F$ sur $A$ est défini par

\overset{n}{Gr} (A) = F^{n} (A) / F^{n + 1} (A) .

On peut alors définir la filtration duale de $F$ de telle sorte que

\overset{n}{Gr} (A^{\circ}) = \overset{- n}{Gr} (A)^{\circ} .

Pour cela on pose $F^{n} (A^{\circ}) = (A / F^{- (n + 1)} (A))^{\circ}$ et on se convainc avec le diagramme autodual suivant que c’est bien la chose à faire.

Unknown environment 'tikzcd'

Définition 5 (Filtrations induite et quotient). Soit $X$ un sous-objet de $A$ .

0 ⟶ X \overset{j}{⟶} A \overset{p}{⟶} A / X ⟶ 0

On définit les filtrations induites par $F$ sur $X$ et $A / X$ par

F^{n} (X) = j^{- 1} (F^{n} (A))

F^{n} (A / X) = p (F^{n} (A)) ≃ F^{n} (A) / F^{n} (X) .

Si $X \subset Y$ sont deux sous-objets de $A$ , on peut définir à la fois une filtration sur le quotient $Y / X$ vu comme sous-objet de $Y$ , ou bien vu comme sous-objet de $A / X$ , c’est-à-dire sur $\ker (A / X \to A / Y)$ . Les deux filtrations obtenues coïncident, et celle-ci est autoduale, car on a le diagramme de flèches strictes suivant.

Unknown environment 'tikzcd'

On termine ce paragraphe en s’intéressant au comportement des suites exactes vis-à-vis des filtrations. Soit

Σ : A \overset{f}{⟶} B \overset{g}{⟶} C

une o-suite. Si $B$ est filtré, son groupe de cohomologie

H (Σ) = \ker (g) / Im (f) ≃ \ker (coker (f) \to Co ï m (g))

est muni de la filtration induite.

Proposition 6. On a les équivalences suivantes.

Soit $f : (A, F) \to (B, F)$ un morphism d’objets filtrés. La suite
$0 ⟶ Gr (\ker (f)) ⟶ Gr (A) ⟶ Gr (B) ⟶ Gr (coker (f)) ⟶ 0$
est exacte si et seulement si $f$ est stricte.
On a $Gr (H (Σ)) ≃ H (Gr (Σ))$ , donc $Σ$ est exacte dans $A$ si et seulement si $Gr (Σ)$ est exacte dans $A^{Z}$ .

Filtrations opposées

L’idée est de se <<ramener>> à la décomposition $H^{n} = \oplus_{p + q = n} H^{p, q}$ dans le cas des variétés kälheriennnes compactes, en mimant la condition $p + q = n$ , avec $n$ donné par une nouvelle filtration $W$ , celle du poids. On omet pour le moment la plupart des démonstrations de ce paragraphe.

Soient $F$ et $G$ deux filtrations sur un objet $A$ de $A$ .

Lemma 7. *On a un isomorphisme

{Gr}_{G}^{n} {Gr}_{F}^{m} (A) ≃ {Gr}_{F}^{m} {Gr}_{G}^{n} (A)

pour tous les entiers $n$ et $m$ .*

Proof. En se ramenant aux définitions, on voit que les deux membres sont le quotient de $G^{n} (A) \cap F^{m} (A)$ par $(F^{m + 1} (A) \cap G^{n} (A)) + (G^{n + 1} (A) \cap F^{m} (A))$ et donc que $F$ et $G$ jouent des rôles symétriques. ◻

Définition 8. Soit $n$ un entier. Deux filtrations $F$ et $\overset{―}{F}$ sont dites $n$ -opposées si

p + q \neq n \Rightarrow {Gr}_{F}^{p} {Gr}_{\overset{―}{F}}^{q} (A) = 0 .

Définition 9. Trois filtrations finies $W$ , $F$ et $\overset{―}{F}$ sont dites opposées si

p + q + n \neq 0 \Rightarrow {Gr}_{F}^{p} {Gr}_{\overset{―}{F}}^{q} {Gr}_{W}^{n} (A) = 0

c’est-à-dire si les filtrations induites par $F$ et $\overset{―}{F}$ sur ${Gr}_{W}^{n} (A)$ sont $(- n)$ -opposées pour tout entier $n$ .

Le résultat fondamental est le suivant, voir Théorème 1.2.10 dans (Deligne 1971).

Théorème 10. Soit $A$ une catégorie abélienne. Soit $A^{'}$ la catégorie dont les objets sont ceux de $A$ munis de trois filtrations opposées $W$ , $F$ et $\overset{―}{F}$ , et les flèches sont les morphismes dans $A$ compatibles à ces filtrations.

$A^{'}$ est une catégorie abélienne.
Les noyaux et conoyaux sont ceux donnés dans $A$ munis des filtrations induites.
Tout morphisme dans $A^{'}$ est strictement compatible aux trois filtrations. Les morphismes induits par les gradués de $F$ et $\overset{―}{F}$ sont strictement compatibles à $W$ , tandis que ceux induits par le gradué de $W$ sont compatibles à $F$ et $\overset{―}{F}$ .
Les foncteurs oublis, ${Gr}_{W}$ , ${Gr}_{F}$ , ${Gr}_{\overset{―}{F}}$ et ${Gr}_{W} {Gr}_{F} ≃ {Gr}_{W} {Gr}_{\overset{―}{F}}$ de $A^{'}$ dans $A$ sont exactes.

Deligne, Pierre. 1971. “Théorie de Hodge: II.” Publications Mathématiques de l’IHÉS 40: 5–57.